Корейская грамматика - 고 싶다

Грамматика «-고 싶다» используется только от первого лица в утверждениях и может использоваться от второго лица только в вопросах.
Нельзя напрямую сказать «он хочет» через «-고 싶다»:
(О) 저는 여행을 가고 싶어요. «Я хочу поехать в путешествие» (1 лицо, правильно)
(О) 여행을 가고 싶어요? «Ты хочешь поехать в путешествие?» (вопрос ко 2 лицу, правильно)
(Х) 그는 여행을 가고 싶어요. (неправильно для утверждения о третьем лице)

Для третьего лица (он, она, они) используется «-고 싶어하다», а не «-고 싶다». Грамматика «-고 싶어하다» присоединяется к основе глагола вне зависимости от того, оканчивается она на согласную или гласную и указывает на желание кого-то со стороны, а не самого говорящего:
안나 씨는 날씬해지고 싶어해요. «Анна хочет похудеть»
민수 씨는 야구를 보고 싶어해요. «Минсу хочет посмотреть бейсбол»

Грамматика «-고 싶다» нельзя использовать с прилагательными напрямую — только с глаголами. Если нужно выразить желание «стать каким-то» (например, здоровым, счастливым), прилагательное сначала превращается в глагол становления через «-아/어지다» и уже к этой форме присоединяется «-고 싶다»:
(Х) 행복하고 싶어요. (грамматически не корректно)
(О) 행복해지고 싶어요. «Хочу стать счастливым»
(О) 건강해지고 싶어요. «Хочу стать здоровым»

Так же 보고 싶다 от глагола 보다 «видеть» имеет второе, очень частое значение — «скучать по кому-то». Это не отдельная грамматика, а особенность конкретного глагола 보다 в сочетании с «-고 싶다»:
가족이 보고 싶어요. «Я скучаю по семье» (не «хочу увидеть семью» в буквальном смысле, а именно скучаю)

В вопросах, где подлежащим является собеседник «-고 싶다» звучит естественно и вежливо — это стандартный способ спросить о желаниях другого человека в разговорной речи.
주말에 뭐 하고 싶어요? (Что вы хотите делать на выходных?)

Дополнение к особому примечанию: частица перед объектом желания — «이/가» или «을/를», обе формы правильные. С «-고 싶다» объект желаемого действия может оформляться и через «이/가» и через «을/를» — обе конструкции грамматически верны и означают одно и то же:
(○) 가족이 보고 싶어요. «Я хочу скучаю по семье»
(○) 가족을 보고 싶어요. «Я хочу скучаю по семье»
(○) 커피가 마시고 싶어요. «Хочу выпить кофе»
(○) 커피를 마시고 싶어요. «Хочу выпить кофе»

Это особенность именно «-고 싶다»: поскольку 싶다 по происхождению — прилагательное «хотеться», оно исторически тянет за собой именительный падеж «이/가», как у обычных прилагательных: 예쁘다 → 얼굴이 예쁘다, но при этом сам глагол внутри конструкции (보다, 먹다, 마시다 и т.д) — переходный и обычно требует «을/를». Поэтому в живом языке закрепились обе формы и носители свободно чередуют их без разницы в смысле.

Для выражения значения противоположному значению «-고 싶어요», используют «-기 싫어요», либо «-고 싶지 않아요»:
오늘은 나가고 싶지 않아요. (Сегодня не хочу выходить на улицу)
오늘은 나가기 싫어요. (Сегодня не хочу выходить на улицу)